مقدمه
عبارت نظریه طبیعی مجموعه‌ها(Naive set theory)، که نباید آن را با نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (Axiomatic set theory) اشتباه گرفت، در سال‌های حدود 1940 گه گاه مورد استفاده قرار می گرفت و در سال 1950 رسماً مورد استفاده قرار گرفت. در ریاضیات محض(Abstract mathematics)، نظریه طبیعی مجموعه‌ها اولین پیشرفت و گسترش در نظریه مجموعه ها (set thoery) است، که بعدها به صورت دقیق تر در قالب نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (axiomatic set theory) بیان شد.
نظریه طبیعی مجموعه‌ها بر پایه یک درک غیر رسمی و بی قاعده از مفهوم مجموعه به عنوان گردایه ای از اشیا
(که عنصر (element) یا عضو (member) گفته می شوند) استوار بود، در حالی که نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها تنها از واقعیت‌هایی در مورد مجموعه‌ها و عضویت استفاده می‌کرد که از طریق یک سری اصول موضوع (axiom) تعریف شده قابل اثبات بودند، که این اصول موضوع از درک ما از مفهوم «دسته(گردایه یا مجموعه) ای از اشیا و اعضایشان» نتیجه شده اند و یکی از اهداف تنظیم این اصول (نه تمام هدف آنها) دوری از پارادکس‌هایی است در این زمینه مطرح شده اند
بود، چرا که نظریه طبیعی مجموعه ها در آغاز کار خود با پارادکس های متعددی از جمله پارادکس معروف راسل مواجه شد.
در ریاضیات مجموعه‌ها بسیار اهمیت داردند؛ در واقع در ریاضیات جدید، بخش عمده ای از ابزارهای ریاضی (اعداد،رابطه ها،توابع و غیره) بر پایه مجموعه ها تعریف شده اند.
نظریه طبیعی مجموعه‌ها
نظریه طبیعی مجموعه‌ها (naive set theory) در اواخر قرن نوزدهم بوسیله جرج کانتور پایه گذاری شد تا به ریاضیدانان اجازه دهد که با مجموعه‌های نامتناهی کار کنند. نتیجه چنین نظریه‌ای این بود که می‌توان بر روی مجموعه‌ها هر عملی را بدون محدودیت انجام داد یا هر مجموعه‌ای را بدون محدودیت در نظر گرفت که این ما را به سوی پارادکس هایی چون پارادکس راسل سوق می دهد.
در حقیقت در ادامه گسترش این نظریه این سوال برای ریاضیدانان پیش آمد که آیا واقعا چیزهایی که ما به عنوان مجموعه در نظر می‌گیریم، مجموعه هستند؟ چه چیزی را می‌توان به عنوان مجموعه در نظر گرفت و چه چیزی را نمی‌توان؟ معیار ما برای اینکه بگوییم یک شی ریاضی مجموعه است یا نه چیست؟
در جواب به این پرسش‌های اساسی، نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها (axiomatic set theory) گسترش یافت که در آن تعدادی اصل موضوع مطرح می‌شود و سایر نتیجه‌گیری‌ها و قضایای موجود بر اساس این اصول استخراج می‌شوند و به طور دقیق معلوم می‌شود که چه اعمالی را می‌توان در مجموعه‌ها انجام داد و چه چیزی را می‌توان به عنوان یک مجموعه در نظر گرفت.
امروزه وقتی ریاضیدانان از نظریه مجموعه ها به عنوان یک شاخه ریاضیات صحبت می کنند، به صورت معمول منظور آنها نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها است. در استفاده های غیر رسمی از نظریه مجموعه ها در رشته های دیگر، معمولا از نظریه طبیعی مجموعه‌ها استفاده می شود.
البته لازم به توضیح است که بعضی‌ها معتقدند که نظریه مجموعه‌های جرج کانتور(Georg Cantor) عملا در گیر پارادکسها نمی‌شود که خود مطلبی قابل بحث است. او از برخی از این پارادکسها آگاه بود ولی آنها را بیان نکرد چرا که معتقد بود این پارادکسها نظریه مجموعه‌های او را بی‌اعتبار می‌سازد. اطمینان در مورد این مطلب دشوار است چرا که او اصل موضوع یا قاعده‌ای را بیان نکرده است. فرگه به صورت صریح یک نظریه اصل موضوعی و با قاعده ارائه داد که می توان آن را به عنوان شکل فرمول بندی شده نظریه طبیعی مجموعه‌ها دانست که این همان تئوری فرمول بندی شده است که برتراند راسل هنگامی که پارادکس خود(پارادکس راسل) را بیان کرد به این تئوری استناد کرد.
مطالعه مجموعه‌ها از دیدگاه طبیعی (یا به عبارت دیگر مطالعه به صورت غیر صوری) به منظور بررسی و گسترس کاربردهای مجموعه‌ها و امکاناتی که برای کار به ما در ریاضیات می دهند بسیار مفید است. بعلاوه دانستن مفاهیم نظریه مجموعه‌ها از دیدگاه طبیعی به عنوان قدم اول در فهم نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها، دارای اهمیت است.
در نظریه طبیعی مجموعه‌ها و مطالعه مجموعه‌ها به صورت طبیعی، به اینکه واقعا مفهوم مجموعه چیست و چه اصول موضوعی برای آن می‌توان تعریف کرد کاری نداریم و فرض می‌کنید فردی که مجموعه ها را به صورت طبیعی مطالعه می‌کند یک درک معمولی و شهودی(و قالبا نادرست) از مجموعه‌ها را داراست، و در اینجا هدف از تشریح نظریه توصیف کارهایی است که با مجموعه‌ها به عنوان یک ابزار ریاضی می‌توان انجام داد. همانند خط و نقطه در هندسه که ما از آنها تعریفی ارائه نمی‌دهیم و به بررسی کارهایی که با این ابزارها می توان انجام داد می پردازیم.
در انتها به این نکته توجه کنید که نظریه طبیعی مجموعه ها (naive set theory) همواره به نظریه ناسازگار فرگه یا کانتور اطلاق نمی‌شود. این نظریه می‌تواند به نظریه مجموعه‌ها به صورت غیر رسمی و دقیق اشاره داشته باشد، مانند کتاب معروف پل ریچارد هالموس (Halmos)، «نظریه طبیعی مجموعه‌ها» که در آن مقداری به بیان غیر رسمی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها پرداخته است. ما در اینجا سعی می‌کنیم به اصول موضوعی که در زمینه مجموعه‌ها بیان شده اند هم اشاره کنیم و در مواقع لازم شما را به آنها ارجاع دهیم.
مفهوم مجموعه
عبارت مجموعه در کاربرد محاوره‌ای ، معمولا به معنای دسته‌ای از اشیا در نظر گرفته شده است که به مفهومی وابسته به یکدیگر یا شبیه هم باشند. اگر شی a عنصری از مجموعه s می‌نویسیم (a متعلق به s) و در صورتی که a عنصری از s نباشد، می‌نویسیم a متعلق به s نیست. فرض می‌کنیم s مجموعه‌ای از عناصر باشد اگر s تنها شامل یک عنصر باشد آنگاه s را تک عنصری می‌نامیم. و اگر شامل دو عنصر متمایز باشد، آنگاه s را جفت نامرتب می‌نامیم.
مفهوم زیرمجموعه
T، زیر مجموعه هر مجموعه s است هر گاه جمع عناصر T متعلق به S باشد، این موضوع را با SﮯTنشان می‌دهیم. زیر مجموعه Tای از S که با خود S متمایزند، به زیر مجموعه سره S موسومند. در این حالت می‌نویسیم SﮯT .
مجموعه تهی
مجموعه‌ای است که اصلا عنصری ندارد. معرفی این مجموعه برای گرد کردن گزاره‌ها و استدلالهای نظریه مجموعه‌ها مناسب به نظر رسیده است. درست همان طور که عدد 0 گزاره‌ها محاسبه‌های حساب را گرد می‌کند. نماد معمول مجموعه تهی Φ است.