ژول هاری پوانکاره (1854-1912) در آغاز قرن بیستم در سطح جهانی به عنوان بزرگترین ریاضیدان نسل خود شناخته شد. در سال ۱۸۷۹ دوران دانشگاهی خود را در کان آغاز کرد, و تنها دو سال بعد به استادی دانشگاه سوربن منصوب شد. بقیه عمر خود را در آنجا به سر برد, و هر سال موضوع متفاوتی را تدریس کرد. در سخنرانیهایش‐ که توسط دانشجویان او ویرایش شد و به چاپ رسید‐ با ابتکار و تسلط فنی فراوان, درواقع تمامی زمینه های معروف ریاضیات محض و کار بسته, و بسیاری از زمینه هایی را که قبل از کشف توسط وی ناشناخته بودند, مورد بحث قرار داد. روی هم رفته بیش از ۳۰ کتاب فنی درباره فیزیک ریاضی و مکانیک سماوی, شش کتاب در سطح عامه فهم, و تقریبًا ۵۰۰ مقاله پژوهشی در ریاضیات نوشت. وی متفکرین سریع الانتقال, قوی, و خستگی ناپذیر بود که به جزئیات نمی پرداخت و به قول یکی از معاصرانش « یک فاتح بود, نه یک استعمارگر». از موهبت حافظه عجیبی نیز برخوردار بود, و برحسب عادت, در حین قدم زدن در اطاق مطالعه خود در مغزش ب ریاضیات می پرداخت و فقط پس از آنکه آن را در ذهنش تکمیل می کرد, بر روی کاغذ می آورد. بیش از ۳۲ سال نداشت که به عضویت فرهنگستان علوم برگزیده شد. عضوی از فرهنگستان که او را برای عضویت پیشنهاد کرد گفت که «کارش مافوق تمجید عادی است, و لاجرم آنچه را که یاکوبی درباره آبل نوشت به یادمان می آورد: او مسایلی حل کرده که قبل از خودش به تصور درنیامده بودند.»
نخستین دستاورد بزرگ ریاضی پوانکاره در آنالیز بود. او ابداع نظریه توابع خود ریخت, مفهوم دوره ای بودن یک تابع را تعمیم داد. توابع مثلثاتی و نمایی مقدماتی, دوره ای یگانه و توابع بیضوی دوره ای دوگانه هستند.
توابع خد ریخت پوانکاره تعمیم گسترده ای از این توابع را تشکیل می دهند, زیرا این توابع تحت یک گروه شمارای نامتنهاهی از تبدیلات کسری خطی, پایا هستند و نظریه غنی توابع بیضوی را به عنوان جزء دربرمی گیرند. او از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب جبری استفاده کرد و همچنین نشان داد که چگونه می توان ار این توابع در یکنواخت کردن منحنیهای جبری, یعنی, بیان مختصات هر نقطه واقع برچنین منحنی برحسب توابع تک مقداری y(t), x(t)c از یک پارامتر واحد t، استفاده کرد. در دهه های1880 و ۱۸۹۰ میلادی توابع خود ریخت به صورت شاخه گسترده ای از ریاضیات درآمد که (علاوه بر آنالیز) به قلمروهای نظریه گروه ها, نظریه اعداد, هندسه جبری, و هندسه غیراقلیدسی راه یافته است.
نکته اساسی دیگری از فکر پوانکاره را می توان در پژوهشهایش درباره مکانیک سماوی یافت (روشهای نوین مکانیک سماوی در سه جلد ۱۸۹۲-۱۸۹۹ (. در خلال این کار نظریه بسطهای مجانبی خود را ارائه کرد ) که باعث توجه به سریهای وارگا شد), پایداری مدارها را مطالعه کرد, و نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل غیرخطی را پایه گذاری کرد. بررسیهای مشهورش در بررسی تکامل اجسام سماوی او را به مطالعه اشکال تعادل جرم سیال درحال دورانی که ذراتش به وسیله جاذبه ثقلی به هم پیوسته است, هدایت کرد, و
شکلهای گلابی واری را کشف کرد که بعدًا در کار سر ج.ه. داروین (فرزند چارلز داروین) نقش مهمی ایفا کردند.
پوانکاره, در خلاصه این کشفیات, می نویسد: « یک جسم سیال درحال دوران را که در اثر سرد شدن منقبض می گردد درنظر می گیریم, ولی فرض می کنیم که این انقباض آنقدر آهسته صورت می گیرد که جسم همگن باقی می ماند و دوران کلیه قسمتهای جسم یکسان است. شکل جسم که در ابتدا با تقریب زیادی کروی است به یک بیضوی دوار تبدیل می گردد که پهن تر و پهن تر می شود, آنگاه, در لحظه خاصی, به یک بیضوی با سه محور نابرابر تبدیل می شود سپس, جسم از صورت بیضی وار خارج و به گلابی وار تبدیل می شود تا سرانجام جرم جسم, که در ناحیه کمر, بیشتر و بیشتر باریک می شود, به دو جسم مجزا و نابرابر تجزیه می شود». این ایده ها در عصر خود ما بیشتر مورد توجه قرار گرفته است, زیرا اخیراً متخصصین ژئوفیزیک به کمک اقمار مصنوعی دریافته اند که زمین خود اندکی گلابی شکل است.
بسیاری از مسائلی که پوانکاره در این دوره با آنها مواجه گردید بذرهای شیوه های جدید تفکر بودند, که در ریاضیات قرن بیستم رشد کردند و شکوفا شدند. سریهای واگرا و معادلات دیفرانسیل غیرخطی را قب ً لا متذکر شده ایم. علاوه بر آنها, کوشش او برای درک ماهیت منحنیها و سطوح در فضاهایی با ابعاد بالاتر منجر به مقاله مشهورش تحت عنوان تحلیل موضعی (توپولوژی) ( ۱۸۹۵ ) گردید, که همه افراد اهل فن متفقًا آن را آغاز تاریخ نوین در توپولوژی جبری می دانند. همچنین, در مطالعه خود در زمینه مدارهای دوره ای, رشته دینامیک توپولوژی (یا کیفی) را بنا نهاد. در اینجا نوعی مسئله ریاضی مطرح می شود که نمایانگر آن, قضیه ای است که پوانکاره در سال ۱۹۱۲ میلادی مطرح کرد, ولی عمرش کفاف نداد تا آن را ثابت کند: چنانچه تبدیلی یک به یک و پیوسته, حلقه محصور بین دو دایره متحدالمرکز را چنان در خود تصویر کند که مساحتها حفظ شود و نقاط دایره دورانی را در جهت حرکت عقربه های ساعت و نقاط دایره بیرونی را در
جهت خلاف حرکت عقربه های ساعت به حرکت درآورد, آنگاه, در این تبدیل حداقل دو نقطه باید ثابت بمانند. این قضیه کاربردهای مهمی در مسئله کلاسیک سه جسم (و نیز در حرکت یک توپ بیلیارد برروی میز بیلیارد محدب) دارد. در سال ۱۹۱۳ اثباتی برای این قضیه توسط یک ریاضیدان جوان آمریکایی به نام بیرکهوف یافته شد. کشف قابل ملاحضه دیگر پوانکاره در این زمینه, که امروزه به قضیه بازگشت پوانکاره معروف است, به رفتار دراز مدت دستگاههای دینامیکی پایستار مربوط می شود. به نظر می رسید که این نتیجه, بیهودگی کوششهای اخیر در به دست آوردن قانون دوم ترمودینامیک از مکانیک کلاسیک را نشان می دهد, و مباحثه ناشی از آن مأخذ تاریخی نظریه ارگودیک نوین بوده است.
یکی از برجسته ترین خدمات فراوان پوانکاره به فیزیک ریاضی, مقاله مشهورش در سال ۱۹۰۶ درباره دینامیک الکترون بود. او سالهای زیادی راجع به شالوده های فیزیک فکر کرده بود, و مستقل از اینشتین بسیاری از نتایج مربوط به نظریه نسبیت خاص را به دست آورده بود. فرق اساسی در این بود که بررسی اینشتین متکی بر ایده های مقدماتی مربوط به علامتهای نوری بود, حال آنکه بررسی پوانکاره بر پایه نظریه الکترومغناطیس بنا شده بود و بنابراین از نر کاربردی به پدیده های مربوط به این نظریه محدود بود. پوانکاراحترام زیادی برای استعداد اینشتین قایل بود, و در سال ۱۹۱۱ انتصاب اینشتسن را به اولین سمت دانشگاهی اش توصیه کرد.
در سال ۱۹۰۲ به عنوان یک سرگرمی جنبی, و ضمن کوششی برای سهیم کردن افراد غیر متخصص در اشتیاق خود به معنا و اهمیت انسانی ریاضیات و علوم, به نویسندگی و سخنرانی برای اقشار وسیعتری از مردم روی آورد. این کارهای سبکتر او در چهار کتاب تحت عناوین علم و فریضه ( ۱۹۰۳ ), ارزش علم۱۹۰۴ ), علم و روش( ۱۹۰۸ ) و آخرین اندیشه ها( ۱۹۱۳ ) گردآوری شده اند. این کتابها واضح, لطیف, عمیق, (و رویهمرفته لذت بخش هستند, و نشان می دهند که پوانکاره یکی از بهترین نثر نویسان فرانسه است. درمشهورترین این مقالات, یعنی مقاله مربوط به کشف ریاضی, او به خویشتن نگریست و فرایندهای مغزی خود را تحلیل کرد, و با انجام ان کار تصاویر نادری از مغز یک نابغه در هنگام کار را, عرضه کرد. همانطور که ژوردن در سوگندنامه پوانکاره نوشت، « یکی از دلایل فراوان جاودانگی پوانکاره این است که با ما امکان داد
تا در عین اینکه او را می ستاییم, وی را بشناسیم».