این مقدمه‌ای جهت تجزیه و تحلیل ساختارهای انعطاف پذیر خطی با استفاده از شیوه اجزای محدود (FEM) می باشد . این فصل به بررسی و شرح کلی از اینکه اجزای مجدود چه می باشند می پردازد.
1-1- جایی که ماده در آن قرار می گیرد .
زمینه مکانیک به 3 قسمت اصلی قابل تقسیم است :
(نمودار در فایل اصلی موجود است)
مکانیک تئوری مربوط به قوانین و اصول بنیادین است که به خاطر ارزش علمی واقعی آن مورد مطالعه قرار می گیرد.مکانیک عملی باعث انتقال این دانش تئوری در جهت استفاده‌های مهندسی و عملی از آن می شود . از این دانش تئوری به خصوص در جهت ساخت الگوهای بسیار دقیق از پدیده های فیزیکی استفاده می شود .
مکانیک محاسباتی مشکلات خاصی را با استفاده از شبیه سازی توسط شیوه های عددی ( شمارشی ) که برروی کامپیوترهای دیجیتال اجرا می شوند حل می کند .
تذکر 1-1) از ریاضیدانان ، شخصی که به جستجوی راه حل هایی در مورد مشکلات مشخص شده می پردازد می تواند شیوه کار خود را به مکانیک محاسباتی محدود کند . کسی که به جستجوی مشکلاتی می پردازد که متناسب با راه حل های ارائه شده می باشند به تعیین مکانیک عملی می پردازد. و شخصی که می تواند وجود مشکلات و راه حل ها را به اثبات برساند می تواند مکانیک تئوری را توصیف کند .
مکانیک محاسباتی :
چندین شاخه از مکانیک محاسباتی با توجه به مقیاس فیزیکی مورد نظر قابل تفکیک می باشند
(نمودار در فایل اصلی موجود است)
نانو مکانیک در ارتباط با سطوح اتمی و مولکولی ماده می باشد بدین معنی که ارتباط نزدیکی با فیزیک و شیمی ذره دارد . ارتباط میکرومکانیک عمدتاً با سطوح دانه‌ای و بلوری ذره می باشد. کاربرد اصلی میکرومکانیک در زمینه تکنولوژی، طراحی و ساخت مواد و ابزارهای میکرو می باشد.
مکانیک همگن ( پیوستار ) به بررسی بدنه ها در سطح ماکروسکوپی و با استفاده از الگوهای همگن می پردازد. در این الگوهای همگن ساختار میکرو به صورت همگن درآمده است.
دو قسمت قدیمی استفاده از مکانیک همگن ( پیوستار )مکانیک جامد و مواد سیال می‌باشد .شیوه اولی شامل ساختارهایی می شود که به خاطر دلایل روشن و واضحی با مواد جامد ساخته می شوند.
مکانیک محاسباتی جامد از روش علوم کاربردی استفاده می کند. در حالی که مکانیک ساختاری محاسباتی برروی استفاده های فن آوری جهت تجزیه و تحلیل و طراحی ساختارها تأکید دارد.
فیزیک چند گانه یک مورد جدیدتر می باشد .
این قسمت سیستم های مکانیکی را رد بر می گیرد که فراتر از مرزهای کلاسیک مربوط به مکانیک مواد سیال و جامد می باشند. که به عنوان مثال می توان به تأثیر متقابل ساختارها و مواد سیال اشاره کرد.
به علت تأثیر متقابل سیستم های الکترومغناطیسی ، مکانیکی و سیستم تنظیمی برروی یکدیگر ، مسائل مربوط به تغییر فاز به مانند ذوب یخ و انجماد فلز در این قسمت گنجانده می شوند.
در نهایت ، System ( سیستم ) نوع اجسام مکانیکی و نیز نوع کارکرد آنها را مشخص میکند یعنی مشخص می سازد که این مواد طبیعی هستند و یا اینکه مصنوعی می باشند و چه نوع عملکردی دارند . نمونه های از سیستم های ساخت بشر عبارتند از :
هواپیماها ، ساختمانها ، برجها و موتورها و ماشین ها و ریز ترانشه ها ، تلسکوپ های رادیویی ، اسکیت ها و آب پاش های گردان .
سیستم های بیولوژیکی به مانند یک وال ، آسیب و گوش داخلی یا یک درخت کاج وقتی از نظر بیومکانیک مورد مطالعه قرار می‌گیرند در این بخش گنجانده می شوند. چیزهای مربوطه به اختر شناسی ( نجوم ) ، زیست محیطی و جهان هستی نیز سیستم‌ها را شکل می دهند . در توسعه شاخه های مربوط به مکانیک محاسباتی ، سیستم کلی ترین مفهوم به حساب می آید. یک سیستم توسط تفکیک پذیری و تجزیه مورد بررسی قرار می‌گیرد بدین ترتیب که : رفتار سیستم از رفتار اجزای آن به همراه تأثیر متقابل بین اجزا ناشی می شود قطعات و اجزاء به اجزای کوچکتری تجزیه می‌شوند و این عمل بدین ترتیب ادامه می یابد زمانی که این فرآیند تجزیه به صورت سلسله مراتبی ادامه می یابد قطعات مستقل جهت دارا بودن رفتارهای منظم و مستقل از یکدیگر به حد کافی ساده می شوند اما تأثیر قطعات برروی یکدیگر پیچیده تر می‌شود. می توان نتیجه گرفت که یک شیوه تعادل جهت مشخص کردن محل پایان تجزیه قطعات وجود دارد .
2-1-1)استاتیک در برابر دینامیک :
مسائل مکانیک ( شیوه ) همگن با توجه به اینکه تأثیرات اینرسی در نظر گرفته می شوند و یا اینکه به حساب نمی آیند. می توان به زیر شاخه های زیر تقسیم شود .
(3-1)(نمودار در فایل اصلی موجود است)
در دینامیک ، وابستگی به زمان واقعی بایستی به طور واضح مورد توجه قرار گیرد . زیرا نیروی اینرسی به تنهایی و یا همراه با نیروی بازدارنده حرکت ارتعاشی نیاز به مشتقات زمان دارد.
مسائل در استاتیک نیز ممکن است به زمان برگردد با این حال از نیروهای اینرسی در استاتیک صرف نظر می شود . بنابراین مسایل استاتیک می تواند به دو قسمت استاتیک کامل و شبه استاتیک تقسیم بندی‌شوند. برای زمان اولیه نباید به صورت واضح مورد توجه قرار گیرد.
با این حال هر زمان مهم به مانند زمان مربوط به شاخص ترتیب عکس العمل لازم است که در نظر گرفته شود . در مسائل مربوط به شبه استاتیک به مانند : استقرار پایه ، تغییر شکل مداوم یا نیمه مداوم و آرام فلز و میزان شکل پذیری چرخه فرسودگی فلز میزان واقعی زمان مورد نیاز می باشد . با این حال در این مسائل نیز از نیروهای اینرسی صرف نظر می شود.
3-1-1) خطی در برابر غیر خطی :
طبقه بندی مسائل استاتیک که به طور خاص مربوط به این کتاب می شود عبارتند از :
(4-1) (نمودار در فایل اصلی موجود است)
بررسی تجزیه و تحلیل استاتیک خطی مربوط به مسائلی از استاتیک است که در آن مسائل در مفهوم علت و معلول ، عکس العمل ( واکنش ) به صورت خطی است .
برای نمونه : وقتی نیروهای مورد استفاده دو برابر می شوند . جابجایی و تغییر مکانها و نیز تنش های درونی دو برابر می شوند.
مسائل بیرون از این محدوده به عنوان غیر خطی طبقه بندی می شوند
یک ذره محدود به چه شباهت دارد ؟
4-1-1) شیوه های جداسازی
در طبق بندی نمایی مکانیک پیوستار استاتیک ( CSM)، بررسی استاتیک بر پایه شیوه جداسازی می باشد که به وسیله این روش یک الگوی پیوستار بسیار دقیق در فضا به صورت ناپیوستار در می آید به عبارتی دیگر این مدل پیوستار با شمار محدودی از حداقل متغیرهای مستقل مانند فشار و گرما ، تبدیل به یک مدل ناپیوسته می شود .
(FEM) ذره محدود
(BEM) ذره مرزی شیوه جداسازی فضایی ( مکانی )
(FDM) تفاوت محدود
(FVM) حجم محدود طیفی
در مسائل خطی مربوط به CSM ، شیوه های ذره محدود به طور متداول شیوه غالب در جداسازی فضا (مکان ) می باشند. بعد از مدت زمانی که سپری می شود جداسازی های فضایی از نوع ذره محدود می باشد با این حال به گستردگی شیوه تفاوت محدود (FDM)نمی باشد . برای مسائل غیر خطی ، کنترل و تسلط شیوه های ذره محدود بسیار عظیم می باشد. شیوه های تفاوت محدود فضایی در مکانیک ساختاری و مواد جامد تقریباً در عمل مورد استفاده قرار نمی گیرند. با این وجود ،شیوه های جداسازی از نوع تفاوت محدود برای مکانیک مواد سیال مهم محسوب می شوند.
شیوه های حجم محدود که به طور مستقیم مربوط به جداسازی قوانین بقا می باشند.
در مسائل دشوار مربوط به مکانیک مواد سیال مثل دینامیک بالای گاز رینم (Re) مهم هستند.
شیوه های طیفی بر پایه تغییرات و دگرگونیهایی است که باعث تبدیل ابعاد زمانی و مکانی نقشه به مکانهایی می شود که در این مکانها ( فضاها ) مسئله با سهولت بیشتری قابل حل می باشد که از این فضاها می توان به محدوده بسامد یا فرکانس اشاره کرد.
شیوه جدیدتر جداسازی فضایی ( مکانی ) شیوه های شبکه باز می باشند.
این شیوه ها ، تکنیک ها و ابزار روشهای ذره محدود به مانند ترکیب و فرمول بندی متفاوت را باخصوصیات روشی تفاوت محدود مثل تقویت غیر موضعی ( محلی ) ترکیب می کنند.
5-1-1) شکلهای متفاوت FEM:
اصطلاح شیوه ذره محدود طیف گسترده‌ای از تکنیکهایی که ویژگیهای مشترک بیان شده در 3-1 و 4-1 را شامل می شوند مشخص می کند.
دوطبقه بندی فرعی که متناسب با استفاده های مناسب برای مکانیک ساختاری می باشند . عبارتند از :
(نمودار در فایل اصلی موجود است)
(6- 1)
ترکیب
با استفاده از طبقه بندی ذکر شده می توانیم عنوان این کتاب را واضح تر ودقیق تر بیان می کنیم .
در واقع عنوان این کتاب عبارت است : تجزیه وتحلیل محاسباتی مسائل ساختاری استاتیک خطی با استفاده از شیوه جسم محدود.
از بین شکلهای مختلف لیست شده در (1.6) ، تأکید بر روی تعیین جابه جایی و راه حل های سختی می باشد. این ترکیب شیوه سختی و مقاومت مستقیم یا DSM نایمده می شود.
2-1 یک جسم محدود شبیه چیست؟
موضوع این کتاب FEM می باشد. حالجسم محدود چیست؟
آن مفهوم تا حدی در نتیجه یک مساله قدیمی مشخص خواهد شد.
آن مسئله دیرنه عبارت است از : محیط یک دایره را به قطر و آن را d در نظر بگیرید.
از آنجایی که می باشد این معادله بدست آوردن یک مقدار عددی برای می باشد. را رسم کنید. یک چند ضلعی منظم با n ضلع در ج کنید. در شکل (b) 1-1، می باشد. اضلاع چند ضلعی را عین قسمتهای تشکیل دهنده نقاط تماس دوباره نامگذاری کنید.
این نقاط اتصال را با اعداد صحیح از یک تا 8 شماره گذاری کنید.
خطی که 2 نقطه 4 و 5 را به یکدیگر متصل می کنید و در شکل (c)1-1 نمایش داده شده است، را رسم کنید. این نمونه ای از یک خط کلی i-j می باشد که در شکل (d)1-1 به تصویر کشیده شده است. طول این خط می باشد.
از آنجایی که تمام خطوط طول یکسانی دارند محیط چند ضلعی از رابطه بدست می آید که از این معادله مقدار تقریبی از رابطه زیر محاسبه می شود.
مقادیر که با قرار دادن n = 1,2,4 ,… بدست آمده اند در ستون دوم جدول 1-1 به صورت یک لیست نوشته شده است.
همان گونه که مشاهده می شود نزدیک بودن مقادیر نسبتاً کند می باشد. با این وجود ، آن ترتیب با قرار دادن الگوریتم wynn در آن به همان صورتی که در ستون سوم نشان داده شده است قابل تغییر می باشد. آخرین مقدار ، مقدار دقیق را تا 15 رقم نشان میدهد.
بعضی طرح های کلیدی در ماورای شیوه FEM در این مثال قابل تشخیص می باشد.
جایگزین آن دایره ، که به عنوان یک جسم مربوط به علم ریاضی مشاهده شد چند ضلعی ها می باشد.
اینها برآوردهای مجزا برای دایره محسوب می شوند. اضلاع که به صورت قسمت های تشکیل دهنده (خطوط) دوباره نامگذاری شده اند توسط گره های انتهایی خود مشخص می شوند.
خطوط توسط گره های قطع کننده از یکدیگر جدا می شوند.
این فرآیند (جدایی خطوط از یکدیگر) در fem جداسازی نامیده می شود.
به محض جدایی ، یک خط کلی مستقل از دایره اصلی و توسط قسمتی که دو گره i,j را به هم متصل می کند می تواند مشخص شود.
ویژگی مربوط به آن خط عبارت است از : طول ضلع Li,j که در آن خط کلی مستقل از دیگر خطوط قابل محاسبه می باشد این ویژگی در FEM تقویت محلی(موضعی) نامیده می شود.
ویژگی نهایی : محیط چند ضلعی از طریق دوباره متصل کردن n ضلع و اضافه کردن طول آنها بدست می آید. این مراحل هم تراز در FEM به ترتیب ترکیب و راه حل نامیده می شوند. البته چیزی عجیب درباره آن دایره وجود ندارد. همان تکنیک جهت اصلح هر نوع خمیدگی در سطح صاف و مسطح نرم قابل استفاده می باشد. طرح های مربوط به روش جداسازی مکانی از نوع ذره محدود را می توان در آثار ریاضیدانان مصری از حدود 1800 سال قبل از میلاد مسیح یافت. که این طرحها علاوه بر مطالعات معروف Archimedes بر روی اصلاح دایره در 250 سال قبل از میلاد مسیح می باشد.
با توجه به فصل های زیر FEM نو در مقایسه با FEM قدیمی (سنتی) دارای گستردگی می باشد. آن مثال مفهوم نسبت اجزاء تشکیل دهنده یک دستگاه ، کمیتهای مزدوج و موزون سازی کلی و منطقه ای را نشان نمی دهد.
اشکال در این قضیه استدلال و منطقی است که بر پایه شکل دایره استوار است.
و شامل یک فرمول متراکم به صورت می شود. در این فرمول مقدار در سمت راست معادله نامشخص می باشد.