معادلات دیفرانسیل توصیف کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم حرکت نیوتن به دست می آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می شوند. در مورد حرکت موشکها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده ترند. برای حل آنها از روشهای عددی به کمک کامپیوترهای سریع و پیشرفته استفاده می کنند. همچنین کامپیوتر به موتور موشک دستور می دهد که چگونه و درچه زمان کار خود را آغاز کند تا موشک در مدار مناسب قرار گیرد. لزوم سرعت و دقت در این گونه کاربردهای کامپیوتری، انگیزه ای قوی برای پژوهش در زمینه سخت افزار و نرم افزار کامپیوتر به منظور تولید کامپیوترهای سریعتر و قابل اعتمادتر بوده هست.
معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند مشتق یا دیفرانسیل باشد.
رده بندی معادلات دیفرانسیل
معادلات دیفرانسیل بر اساس ویژگی های زیر رده بندی می شوند
نوع عادی یا جزئی
مرتبه که عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد)؛
درجه نمای بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، پس از حذف مخرج کسرها و رادیکالهای مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش
وقتی متغیر وابسته،مانند y تابعی از تنها یک متغیر مستقل مانند x باشد، فقط مشتقات «عادی» در معادله ظاهر می شوند.
کاربردها
یکی از مهمترین کاربردهای معادلات دیفرانسیل در مطالعه ارتعاش است که مثال معروف آن حرکت فنر است. در شکل مقابل فنری به طول طبیعی L را بوسیله وزنه W به اندازه s واحد میکشیم.سپس فنر رابه اندازه a واحد دیگر میکشانیم وآنرا رها میکنیم تابه ارتعاش در آیدوضعیت وزنه در هر زمان پس از آن با یک معادله دیفرانسیل توصیف میشود.
البته مسائل فیزیکی زیادی بعد از فرمول بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می شوند به عنوان مثالی دیگر دستگاه معادلات دیفرانسیل زیر حرکت پرتابه ای را (بدون در نظر گرفتن مقاومت هوا) توصیف می کند:
در واقع، یکی از منابع عمده معادلات دیفرانسیل در مکانیک قانون دوم نیوتن است که در آن Fبرایند نیروهای وارد بر جسمی به جرم mو سرعت V است:
مثالی از رشته سینتیک شیمیایی واکنش دهنده ای چون Aاست که در تبدیلاتی موازی با سرعتهایی متناسب با مقدار A موجود در لحظه tبه دو فراورده BوC تبدیل می شود.اگرx، y ،z مقادیرA، B،C در لحظه t باشند،آنگاه معادلات دیفرانسیلی که این فرایند را توصیف میکنند عبارتند از:
واکنش دهندهA باآهنگهایی متناسب با مقدار
موجود A ،فراورده هایBو C را تولید میکند
جواب معادله
تابعی چون راجواب معادله دیفرانسیل نامند اگر چنانچه در معادله دیفرانسیل مزبور y را به جای (f(x قرار دهیم و به جای مشتقات مربوط به y ،مشتقات متناظر (f(x را قرار دهیم،معادله برقرار بماند. مثلا اگر و مقادیر ثابتی باشند،آنگاه
جوابی برای معادله دیفرانسیل زیر است:
مساله ای فیزیکی به صورت یک معادله دیفرانسیل در می آید، معمولا شامل شرایطی اضافی هم هست که به وسیله خود معادله دیفرانسیل بیان نمی شوند. مثلاً، در مکانیک معمولا هم مکان و سرعت اولیه جسم متحرک و هم نیروها به طور جداگانه مشخص می شوند. معادله یا معادلات دیفرانسیل حرکت، معمولا جوابهایی دارند و ثابتهای دلخواهی را در برمیگیرند. از این رو به این ثابتهای دلخواه مقادیر خاصی نسبت می دهند تا شرایط اولیه توصیف شده برآورده شوند.
معادلات دیفرانسیل خطی و مدل‌سازی دینامیکی
پرویز تاجداری، مولف این کتاب در گفت‌وگو با خبرگزاری کتاب ایران ایبنا با بیان این مطلب اظهار داشت: این کتاب برای دانشجویان رشته‌های ریاضی، فیزیک، مکانیک، برق و اقتصاد تالیف شده و دربردارنده مباحث مختلف معادلات دیفرانسیل خطی در مدل‌سازی است.
وی ادامه داد: کتاب حاضر، در راستای توسعه مدل‌سازی در علوم و فنون تالیف شده و مدل‌سازی به روش سنتی را با کاربرد معادلات دیفرانسیل بررسی میکند.
تاجداری با اشاره به موضوع کتاب گفت: این مبحث روش قدیمی و ریشه‌دار در علم مدل‌سازی است که از چند قرن گذشته تاکنون، اغلب مدل‌سازی‌ها در علوم به وسیله این روش عملی شده و اکنون نیز بر اساس آن انجام میشود.
وی با بیان این‌که کتاب شامل سه فصل است، افزود: در فصل آغازین این اثر، به فلسفه مدل‌سازی بر اساس مبانی مذهبی پرداخته شده و از خداوند اولین مدل‌ساز بشر نام برده شده است، در این فصل با ارایه مثال‌ها و نمونه‌های کاربردی، مدل‌سازی طبیعت و ریاضی با یکدیگر مقایسه شده‌اند.
تاجداری همچنین درباره دیگر فصول این اثر توضیح داد: در دو فصل پایانی کتاب نیز مفاهیمی درباره نوآوری‌های مدل‌سازی در ریاضی، معادلات دیفرانسیل خطی، روش حل آنها به صورت تحلیلی، کیفی و عددی آمده است.
کتاب «معادلات دیفرانسیل خطی و مدل سازی دینامیکی» در 351 صفحه، شمارگان 1500 نسخه و بهای چهار هزار و 500 تومان تا پایان خرداد ماه از سوی نشر «اتا» در بازار عرضه میشود.
کاربرد معادلات دیفرانسیل در مکانیک
کاربرد مستقیم قوانین حرکت نیوتن برای حرکت سیستمهای ساده راحت و آسان است. اما در صورتی که تعداد ذرات سیستم بیشتر شود، در این صورت استفاده از قوانین نیوتن کار دشواری خواهد بود. در این حالت از یک روش عمومی ، پیچیده و بسیار دقیق که به همت ریاضیدان فرانسوی ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده است، استفاده میشود. به این ترتیب می‌توان معادلات حرکت برای تمام سیستمهای دینامیکی را پیدا کرد. این روش چون نسبت به معادلات نیوتن حالت کلی تری دارد، لذا در مورد حالتهای ساده که با معادلات حرکت نیوتن به راحتی حل میشود، نیز قابل اعمال است.
مختصات تعمیم یافته
موقعیت یک ذره در فضا را می‌توان با سه سیستم مختصات مشخص کرد. این سیستمها عبارتند از سیستمهای کارتزین ، کروی و استوانه‌ای ، یا در حقیقت هر سه پارامتر مناسب دیگری که انتخاب شده باشند. اگر ذره مجبور به حرکت در یک صفحه یا سطح ثابت باشد فقط به دو مختصه برای مشخص کردن موقغیت ذره نیاز است، در حالیکه اگر ذره روی یک خط مستقیم یا یک منحنی ثابت حرکت کند، ذکر یک مختصه کافی خواهد بود. اما در مورد یک سیستم متشکل از N ذره ، برای تشخیص کامل موقعیت همزمان تمام ذرات به 3N مختصه نیاز خواهیم داشت.