تحقیق مقاله سیستم اعداد مانده‌ ای ( باقیمانده )

سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

سیستم اعداد مانده‌ ای یک سیستم اعداد صحیح است، که مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و کند هستند از مشکلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است که چون با سیستم اعداد صحیح کار می‌کند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه می‌گیریم که در اهداف عمومی کامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت کاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از کاربرها که اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی که اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.

1-1) مقدمه

سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یک مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یک مبنای واحد مثل  از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر کدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یک عدد بر آن‌ها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیله یک N -تائی مثل  نمایش داده می‌شود که هر  یک عدد غیرمنفی صحیح است که در رابطه زیر صادق است:

(جدول در فایل اصلی موجود است)  

جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانه ‌

 بزرگترین عدد صحیحی است بطوریکه  معروف است به باقیمانده X به پیمانه Mi ، و در روش نوشتن اعداد  هر دو و با یک مفهوم استفاده می‌شوند.

مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های  را ملاحظه کنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت  نمایش داده می‌شود که  و  از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.

                    (معادله در فایل اصلی موجود است)                    

بنابراین در این سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  عدد صحیح 5 به صورت (2,1) نشان داده می‌شود.

عدد X لزوماً نباید یک عدد صحیح مثبت باشد بلکه  می‌تواند عدد صیح منفی هم باشد برای مثال اگر X=-2 باشد آنگاه

                            (معادله در فایل اصلی موجود است)                  

نکته‌ای که در اینجا وجود دارد این است که  ها مثبت تعریف می شوند .

بنابراین عدد صیح -2 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  بصورت  نمایش داده می‌شود.

جدول 1-1 اعداد صحیح در محدوده [-4,8] را در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانه  نمایش داده است.

همانطور که از جدول 1-1 مشخص است نمایش مانده‌ای یک عدد صحیح منحصر بفرد است در حالی که بر عکس این مطلب درست نیست و نمایش صحیح دو یا چند عددمانده‌ای ممکن است یکسان باشد برای مثال نمایش صحیح (1،1) هم عد یک می‌شود و هم عدد هفت، پس در نتیجه ما باید دامنه اعدادی را که نمایش داده می شوند  محدود کنیم، همنطور که از جدول 1-1 مشخص می‌شود نمایش مانده‌ای دوره‌ای است و تکرار می‌شود  و در اینجا محدوده تکرارش شش است، ما در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانه فقط شش نمایش مختلف دادیم چونکه  دو مقدار مختلف  سه مدقار مختلف می‌توانند به خود  بگیرند، بنابراین ما باید ناحیه نمایش را به شش عدد محدود بکنیم، دو ناحیه ‌ممکن  در جدول مشخص شده‌اند، اولی  و دومی  است.

در حالت کلی در سیستم اعدادمانده‌ای می‌توان گفت که تعداد نمایش‌های غیرتکراری برابر است با کوچکترین مضرب مشترک پیمانه‌‌ها، که به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

و از همین عنصر برای محدود کردن ناحیه نمایش استفاده می‌کنیم.

کوچترین مضرب مشترک پیمانه‌ها کوچکترین عدد است که همه پیمانه‌ها بر  آن تقسیم می شوند . برای مثال کوچکترین مضرف مشترک اعداد 2 و 3 عدد 6 می‌شود.  ولی کوچکترین مضرب مشترک اعداد 2 و 4 عدد 4 می‌شود  . بزرگترین ناحیه ممکن عبارت است از حاصلظرب همه پیمانه‌ها در  همدیگر 

و برای بدست آوردن بزرگترین ناحیه ممکن ما باید پیمانه‌ها را دو به دو نسبت به هم اول انتخاب کنیم، دو پیمانه  و  را نسبت به هم اول گوییم اگر که بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها یک باشد. و معمولاً به این شکل می‌نویسیم  

برای مثال اعداد 4 و 9 نسبت به هم اول و هستند اگر چه خودشان هیچکدام عدد اول نیستند و اعداد 4 و 24 نسبت به هم اول نیستند چونگه بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها عدد  4  می‎باشد اگر دو عدد خودشان اول باشند قطعاً نسبت به هم نیز اول هستند مثلاً اعداد 2 و 3 و یا 5 و 7 و …….

حال ما  عدد M را بدست آورده‌ایم، حال ما می توانیم یک ناحیه M تائی  از اعداد صحیح را به عنوان محدوده نمایش سیستم اعداد مانده‌ای مربوطه در نظر گرفت، اگر که اعداد صحیح مثبت احتیاج داشته باشیم می‌توان ناحیه [O,M-1] را در نظر گرفت و اگر درجائی دیگر اعداد منفی هم مطلوب بودند می‌توانیم ناحیه را به این  صورت تعریف کنیم که اگر M زوج باشد  و اگر M فرد باشد.  .

اگر به جدول 1-1 نگاه  کنیم و ناحیه [0,5] را بررسی کنیم متوجه می‌شویم که هیچ دو عددی از آن شبیه هم نیستند.

سیستم اعداد مانده‌ای یک سیستم وزنی نیست، سیستم وزنی را به این شکل تعریف می‌کنیم که اگر سه عدد  داشته باشیم آنگاه بعد از تبدیل به یک سیستم اعداد دیگر به ترتیب به صورت  در بیایند اگر که  باشد آنگاه به این سیستم  یک سیستم اعداد وزنی گفته می‌شود ولی سیستم اعداد مانده‌ای در این خاصیت شبیه سیستم اعداد عمومی که وزنی می‌باشد نیست. به عنوان مثال عدد 5 در سیستم اعداد مانده‌ای به صورت (2,1) نشان داده می‌شود که بزرگتر از عدد 2 می‌باشد که در سیستم اعداد مانده‌ای به صورت (2,0) نشان داده می‌شود. اما عدد 1 در سیستم اعداد مانده‌ای به صورت (1 ، 1) نمایش داده می‌شود که کوچکتر از عدد 4 می‌باشد که در سیستم اعداد مانده‌ای به صورت (0 ،1) نشان داده می‌شود.

2-1 عملیات ریاضی

عمل جمع در سیستم اعداد مانده‌ای اساساً به صورت زیر  تعریف می‌شود.

و در حالت کلی جمع k عدد   به شکل زیر انجام می‌شود

و به طور مشابه عمل ضرب در سیستم اعداد مانده‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود.

و در حالت کلی ضرب K عدد ،  به شکل زیر انجام می‌شود.

اثبات معادلات بالا در مرجع  شماره 7 آمده است.

(معادله در فایل اصلی موجود است)  

مثال 2-1

برای جمع دو عدد y=2 , x=1 در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانه ‌  ، اولین کاری که انجام می‌دهیم این است که هر کدام از این اعداد را در سیستم اعداد مانده‌ای با این پیمانه نمایش می‌دهیم که نمایش این اعداد به ترتیب به صورت (1 ، 1) و (0 ، 2) می‌باشد.

  (معادله در فایل اصلی موجود است)